Fundamentos de Matematicas: 2016

jueves, 26 de mayo de 2016

ECUACIONES

ECUACIONES

Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas.

ejemplo: 2x+4=2, e=tan x, x2 - 3x+6=0.

En los 3 primeros ejemplos "x" es la variable o incógnita de la ecuación.

Decimos que el numero "a" es solución de una ecuación si al sustituir este valor su dicha ecucacion la convierte en una proposición verdadera.

EJEMPLO : ¿ es X=3 solucion de la ecuacion 7x+4=-3?

R: no ya que 7(3)+4=25 no es igual a -3

TIPOS DE ECUACIONES

ECUACIONES LINEALES: Una ecuación lineal es una ecuación de la forma:

Ax+B=0

A y B Son contantes pero a no es igual a 0.

ECUACIONES CUADRÁTICAS

Una ecuación cuadrática es una ecuación en su forma ax2 + bx + c, donde a, b, y c son números reales.

Ejemplo:

9x2 + 6x + 10 a = 9, b = 6, c = 10

3x2 - 9x a = 3, b = -9, c = 0

-6x 2 + 10 a = -6, b = 0, c = 10

Hay tres formas de hallar las raíces ( el o los valores de la variable) de las ecuaciones cuadráticas:

1. Factorización Simple

2. Completando el Cuadrado

3. Fórmula Cuadrática

Factorización Simple:

La factorización simple consiste en convertir la ecuación cuadrática en un producto de binomios. Luego, se busca el valor de x de cada binomio.

Ejemplo: Realizar la factorización simple de la ecuación

x2 + 2x – 8 = 0 a = 1 b = 2 c = - 8

(x ) (x ) = 0 [x ·x = x2]

( x + ) (x - ) = 0

(x + 4 ) (x – 2) = 0 4 y –2 4 + -2 = 2

4 · -2 = -8

x + 4 = 0 x – 2 = 0

x = 0 – 4 x = 0 + 2

Estas son las dos soluciones.

x = -4 x = 2

Completando el Cuadrado:

En este método, la ecuación tiene que estar en su forma ax2+bx+c; y siempre la constante de a tiene que ser igual a 1.

Por ejemplo, para factorizar la ecuación 4x2 + 12x – 8 = 0, hay que despejar de la siguiente forma:

4x2 + 12x – 8 = 0

4 4 4 4

x2 + 3x – 2 = 0 Ahora, a= 1.

Ejemplo:

x2 + 2x – 8 = 0 [Ya está en su forma donde a = 1.]

x2 + 2x = 8 [ Pasar a c al lado opuesto.]

x2 + 2x + ___ = 8 + ___ [Colocar los blancos]

x2 + 2x + 1 = 8 + 1

x2 + 2x + 1 = 9

( ) ( ) = 9 Hay que factorizar.

Nota: Siempre será un cuadrado perfecto.

( x + 1) (x + 1) = 9

(x + 1)2 = 9

(x + 1) = ±

x + 1 = ± 3

x = -1 ± 3 [Separar las dos soluciones.]

x = -1 + 3 x = -1 – 3

x = 2 x = -4

Fórmula Cuadrática:

Este método es muy simple: hay que sustituir los valores de a, b y c de la ecuación cuadrática a la siguiente fórmula:

Ejemplo:

X2 + 2x – 8 = 0 a = 1, b = 2, c = -8

x = -2 ± 6

X = -2 + 6 x = -2 - 6

2 2

x = 4 x = -8

2 2

x = 2 x = - 4

si quieres ampliar tus conocimientos aqui te dejo unos ejercicios de ecuaciones :

http://ponce.inter.edu/cremc/cuadratica.html

Para mas temas sugerir en la caja de comentarios :D

RADICACION

RADICACION

Sea a E R definimos la raíz n-esima de a, denotada :

La radicación: es la operación en la cual un valor se divide a si mismo 2 o más veces, se representa por potenciación:

Raiz cuadrada de 81 es 9, ya que 9 * 9 dan 81
Raiz cubica de 125 es 5, ya que 5 * 5 * 5 = 125

Si la radicación es mayor de 2, el valor radical se coloca como superindice al lado izquierdo antes de la casita. ----
la raiz quinta de 32 = 2
la raiz cúbica de 27 = 3

la raiz cuadrada de 64 = 8
la raiz sexta de 128 = 2
la raiz cuarta de 81 = 3

PROPIEDADES DE LA RADICACION

Raíz de un producto

La raíz de un producto es igual al producto de las raíces de los factores: $\sqrt[n]{{a} \cdot {b}} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$

Ejemplo

$\sqrt{3^2 \cdot 2^4}$ = $\sqrt{3^2} \cdot \sqrt{2^4}$ = $\sqrt{9} \cdot \sqrt{16} = 3\cdot 4 = 12.$

Se llega a igual resultado de la siguiente manera:

$\sqrt{3^2 \cdot 2^4} = \sqrt{9 \cdot 16} = \sqrt{144} = 12.$

Raíz de un cociente

La raíz de una fracción es igual al cociente de la raíz del numerador entre la raíz del denominador:

Ejemplo

Raíz de una raíz

Para calcular la raíz de una raíz se multiplican los

índices de las raíces y se conserva el radicando:

Ejemplo

$\sqrt[9]{\sqrt[3]{5}}$ = $\sqrt[27]{5}.$

Si deseas ampliar tu conocimiento y tu practica aquí te dejo unos ejercicios de radicación:

http://www.vitutor.com/di/re/r_e.html

POTENCIACION

POTENCIACIÓN

Sea a E R, definimos la potencia de a de la forma: An=a.a

El numero a se llama base y n es el exponente.

Se llama potencia a una expresión de la forma $a^n$ , donde a es la base y n es el exponente. Su definición varía según el conjunto numérico al que pertenezca el exponente.

PROPIEDADESDE LA POTENCIACION

Multiplicación de potencias de igual base

Observa el siguiente ejemplo:

2³ . 2³. 2³. 2³ = 2^3+3+3+3= 2 ^3.4 = 2¹²

Observa que el resultado de multiplicar dos o más potencias de igual base es otra potencia con la misma base, y en donde el exponente es la suma de los exponentes iniciales.

Cociente de potencias de igual base

Veamos cómo se haría un cociente de potencias de igual base:

5⁸ : 5⁴ = 5^{8 - 4}= 5⁴= 625

Observa que el resultado de dividir dos potencias de igual base es otra potencia con la misma base, y en donde el exponente es la resta de los exponentes iniciales.

Potencia de una potencia

El resultado de calcular la potencia de una potencia es una potencia con la misma base, y cuyo exponente es la el producto de los dos exponentes. Por ejemplo:

(2³)⁵ = 2^3.5 = 2¹⁵

Distributiva respecto a la multiplicación y a la división

Para hacer el producto de dos números elevado a una misma potencia tienes dos caminos posibles, cuyo resultado es el mismo:

Podes primero multiplicar los dos números, y después calcular el resultado de la potencia:

(4·5)⁴ = 20⁴= 160000

O bien podes elevar cada número por separado al exponente y después multiplicar los resultados.

(4·5)⁴ = 4 ⁴. 5⁴ = 256·625 = 160000

De forma análoga podes proceder si se trata del cociente de dos números elevado a la misma potencia.

(3 : 2)⁴ = 1, 5 ⁴= 5, 0625

(3 : 2)⁴ = 3⁴: 2⁴ = 81 : 16 = 5,0625

Observa que de las dos formas obtienes el mismo resultado. Ahora bien, no siempre será igual de sencillo de las dos formas. Así que piensa de antemano qué método va a ser más conveniente para realizar el cálculo.

NO distributiva respecto a la suma y a la resta

No se puede distribuir cuando dentro del paréntesis es suma o resta:

Por ejemplo:

(6 + 3)² ≠ 6²+ 3² porque (6 + 3)² = 9²= 81

6²+ 3² = 36 + 9 = 45

81 ≠ 45

(10 - 6)² ≠ 10² - 6² porque (10 - 6)² = 4²= 16

10²- 6² = 100 - 36 = 64

16 ≠ 64

NÚMEROS REALES

NÚMEROS REALES

Sean A y B números reales. Definimos la operación adición o suma denotada (+),de la forma= A + B.

Definimos la operación multiplicación o producto, denotada (.),de la forma=(A.B).

PROPIEDADES:

.CLAUSURATIVA: A + B= C; A.B=C

.CONMUTATIVA: A+ B = B+A; A.B=B.A

.MODULATIVA: A+0=A ; A.0=0

.INVERSO ADITIVOY RECIPROCO: Todos los numeros reales tienen inverso multiplicativo o inverso aditivo unico.
-Inverso aditivo: Dado a E R, - a E R, tal que a+(-a)= a+a=0
-Reciproco: Dado A no es igual 0 , A E R, 1/a E R, tal que a.1/a= 1/a . a = 1.

.ASOCIATIVA: (A+B)+C= A+(B+C); (A.B).C=A.(B.C)

.DISTRUBUTIVA: A.(B+C) = A.B + A.C

PROPIEDADES DE LOS FRACCIONARIOS:

En primer lugar se reducen los denominadores a común denominador, y se suman o se restan los numeradores de las fracciones equivalentes obtenidas.

Propiedades

1. Interna:

El resultado de sumar dos números racionales es otro número racional.

a + b

2. Asociativa:

El modo de agrupar los sumandos no varía el resultado.

(a + b) + c = a + (b + c) ·

3. Conmutativa:

El orden de los sumandos no varía la suma.

a + b = b + a

4. Elemento neutro:

El 0 es el elemento neutro de la suma porque todo número sumado con él da el mismo número.

a + 0 = a

5. Elemento opuesto

Dos números son opuestos si al sumarlos obtenemos como resultado el cero.

a + (-a) = 0

El opuesto del opuesto de un número es igual al mismo número.

Como consecuencia de estas propiedades, la diferencia de dos números racionales se define como la suma del minuendo más el opuesto del sustraendo.

a − b = a + (−b)

Producto de números racionales

El producto de dos números racionales es otro número racional que tiene:

Por numerador el producto de los numeradores.

Por denominador el producto de los denominadores.

Propiedades

1. Interna:

a · b

2. Asociativa:

(a · b) · c = a · (b · c)

3. Conmutativa:

a · b = b · a

4. Elemento neutro:

a ·1 = a

5. Elemento inverso:

a.1/a=1

6. Distributiva:

a · (b + c) = a · b + a · c

7. Sacar factor común:

a · b + a · c = a · (b + c)

CARDINALIDAD DE UN CONJUNTO

CARDINALIDAD DE UN CONJUNTO

La cardinalidad de un conjunto denotado n(A), es el numero de elementos A.

ejemplo : A={X/6 < X <13 } = { 6,7,8,9,10,11,12,13}

cardinalidad de la union: Proporcionamos un ejercicio sobre la fórmula para el cardinal de la unión de tres conjuntos con un ejemplo de aplicación.

Enunciado
Sea $M$ un conjunto finito (es decir, con un número finito de elementos). Se denota por $card M$ , por $# (M)$ o bien por $| A |$ al cardinal de $M$ . Sean ahora $A, B, C$ tres conjuntos finitos.
1. Demostrar las fórmulas:
$(a) | A \cup B | = | A | + | B | - | A \cap B |$ .
$(b) | A \cup B \cup C | = | A | + | B | + | C | - | A \cap B | - | A \cap C | - | B \cap C | + | A \cap B \cap C | .$
2. Aplicación: usando la fórmula del cardinal de la unión de tres conjuntos, calcular cuantos números naturales menores o iguales que $1000$ existen que no sean múltiplos no de $3$ , ni de $5,$ ni de $7.$

Solución
1. $(a)$ Si escribimos $| A | + | B |$ estamos contando dos veces cada elemento de $A \cap B$ , en consecuencia $| A \cup B | = | A | + | B | - | A \cap B |$ .

$(b)$ Usando las propiedad asociativa de la unión, el apartado $(a)$ y la propiedad distributiva de la intersección respecto de la unión:

| A \cup B \cup C | = | (A \cup B) \cup C | = | A \cup B | + | C | - | A \cup B) \cap C | = | A | + | B | - | A \cap B | + | C | - | (A \cap C) \cup (B \cap C) | . (1)

Usando el apartado $(a)$ y las propiedades asociativa e idempotente de la intersección:

| (A \cap C) \cup (B \cap C) | = | A \cap C | + | B \cap C | - | (A \cap C) \cap (B \cap C) | = | A \cap C | + | B \cap C | - | A \cap B \cap C | . (2)

Usando $(1)$ y $(2)$ queda:

| A \cup B \cup C | = | A | + | B | + | C | - | A \cap B | - | A \cap C | - | B \cap C | + | A \cap B \cap C | .

2. Llamemos $A_{3},$ $A_{5}$ y $A_{7}$ los conjuntos de los múltiplos de $3,$ $5$ y $7$ respectivamente y que son menores o iguales que $1000.$ Entonces, $A_{3} \cap A_{5},$ $A_{3} \cap A_{5},$ $A_{5} \cap A_{7},$ y $A_{3} \cap A_{5} \cap A_{7}$ son respectivamente los conjuntos cuyos elementos son los múltiplos de $15,$ $21,$ $35$ y $105$ respectivamente y que son menores o iguales que $1000.$ Tenemos:

{\begin{matrix} \begin{aligned} 1000 = 3 \cdot 333 + 1 \\ 1000 = 5 \cdot 200 \\ 1000 = 7 \cdot 142 + 6 \end{aligned} \end{matrix} \Rightarrow {\begin{matrix} \begin{aligned} | A_{3} | = 333 \\ | A_{5} | = 200 \\ | A_{7} | = 142, \end{aligned} \end{matrix}

{\begin{matrix} \begin{aligned} 1000 = 15 \cdot 66 + 10 \\ 1000 = 21 \cdot 47 + 13 \\ 1000 = 35 \cdot 28 + 20 \end{aligned} \end{matrix} \Rightarrow {\begin{matrix} \begin{aligned} | A_{3} \cap A_{5} | = 66 \\ | A_{5} \cap A_{7} | = 47 \\ | A_{5} \cap A_{7} | = 28, \end{aligned} \end{matrix}

1000 = 105 \cdot 9 + 55 \Rightarrow | A_{3} \cap A_{5} \cap A_{7} | = 9.

Aplicando la fórmula del cardinal de la unión de tres conjuntos

| A_{3} \cup A_{5} \cup A_{7} | = 333 + 200 + 142 - 66 - 47 - 28 + 9 = 543.

El conjunto $A_{3} \cup A_{5} \cup A_{7}$ está formado por los múltiplos de $3,$ o de $5,$ o de $7$ y que son menores o iguales que $1000.$ Nos piden por tanto el cardinal de ${(A_{3} \cup A_{5} \cup A_{7})}^{c} .$ Entonces,

| {(A_{3} \cup A_{5} \cup A_{7})}^{c} | = 1000 - 543 = 457

es el cardinal de los números naturales menores o iguales que $1000$ existen que no son múltiplos ni de $3$ , ni de $5,$ ni de $7.$
$7.$ $7.$

$7.$