CARDINALIDAD DE UN CONJUNTO

CARDINALIDAD DE UN CONJUNTO

La cardinalidad de un conjunto denotado n(A), es el numero de elementos A.

ejemplo : A={X/6 < X <13 } = { 6,7,8,9,10,11,12,13}

cardinalidad de la union:  Proporcionamos un ejercicio sobre la fórmula para el cardinal de la unión de tres conjuntos con un ejemplo de aplicación.

Enunciado
Sea M$M$ un conjunto finito (es decir, con un número finito de elementos). Se denota por card M$\text{card }M$, por #(M)$\mathrm{\#}(M)$ o bien por |A|$|A|$ al cardinal de M$M$. Sean ahora A,B,C$A,B,C$ tres conjuntos finitos.
1.  Demostrar las fórmulas:
(a)|A∪B|=|A|+|B|−|A∩B|$(a)|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|$.
(b)|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|−|A∩B|−|A∩C|−|B∩C|+|A∩B∩C|.$$\begin{gathered} (b)|A\cup B\cup C|=|A|+|B|+|C|-|A\cap B|-|A\cap C|-|B\cap C| \\ +|A\cap B\cap C|. \end{gathered}$$
2.  Aplicación: usando la fórmula del cardinal de la unión de tres conjuntos, calcular cuantos números naturales menores o iguales que 1000$1000$ existen que no sean múltiplos no de 3$3$, ni de 5,$5,$ ni de 7.$7.$

Solución
1.  (a)$(a)$ Si escribimos |A|+|B|$|A|+|B|$ estamos contando dos veces cada elemento de A∩B$A\cap B$, en consecuencia |A∪B|=|A|+|B|−|A∩B|$|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|$.

(b)$(b)$ Usando las propiedad asociativa de la unión, el apartado (a)$(a)$ y la propiedad distributiva de la intersección respecto de la unión:

|A∪B∪C|=|(A∪B)∪C|=|A∪B|+|C|−|A∪B)∩C|=|A|+|B|−|A∩B|+|C|−|(A∩C)∪(B∩C)|.(1)$$\begin{gathered} |A\cup B\cup C|=|(A\cup B)\cup C|=|A\cup B|+|C|-|A\cup B)\cap C| \\ =|A|+|B|-|A\cap B|+|C|-|(A\cap C)\cup (B\cap C)|.(1) \end{gathered}$$

Usando el apartado (a)$(a)$ y las propiedades asociativa e idempotente de la intersección:

|(A∩C)∪(B∩C)|=|A∩C|+|B∩C|−|(A∩C)∩(B∩C)|=|A∩C|+|B∩C|−|A∩B∩C|.(2)$$\begin{gathered} |(A\cap C)\cup (B\cap C)|=|A\cap C|+|B\cap C|-|(A\cap C)\cap (B\cap C)| \\ =|A\cap C|+|B\cap C|-|A\cap B\cap C|.(2) \end{gathered}$$

Usando (1)$(1)$ y (2)$(2)$ queda:

|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|−|A∩B|−|A∩C|−|B∩C|+|A∩B∩C|.$$|A\cup B\cup C|=|A|+|B|+|C|-|A\cap B|-|A\cap C|-|B\cap C|+|A\cap B\cap C|.$$

2.  Llamemos A3,$A_3,$ A5$A_5$ y A7$A_7$ los conjuntos de los múltiplos de 3,$3,$ 5$5$ y 7$7$ respectivamente y que son menores o iguales que 1000.$1000.$ Entonces, A3∩A5,$A_3\cap A_5,$ A3∩A5,$A_3\cap A_5,$  A5∩A7,$A_5\cap A_7,$ y A3∩A5∩A7$A_3\cap A_5\cap A_7$ son respectivamente los conjuntos cuyos elementos son los múltiplos de 15,$15,$21,$21,$ 35$35$ y 105$105$ respectivamente y que son menores o iguales que 1000.$1000.$ Tenemos:

⎧⎩⎨1000=3⋅333+11000=5⋅2001000=7⋅142+6⇒⎧⎩⎨⎪⎪|A3|=333|A5|=200|A7|=142,$$\{\begin{array}{c}{\displaystyle \begin{array}{rl}& 1000=3\cdot 333+1\\ & 1000=5\cdot 200\\ & 1000=7\cdot 142+6\end{array}}\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{c}{\displaystyle \begin{array}{rl}& \left|A_3\right|=333\\ & \left|A_5\right|=200\\ & \left|A_7\right|=142,\end{array}}\end{array}$$

⎧⎩⎨1000=15⋅66+101000=21⋅47+131000=35⋅28+20⇒⎧⎩⎨⎪⎪|A3∩A5|=66|A5∩A7|=47|A5∩A7|=28,$$\{\begin{array}{c}{\displaystyle \begin{array}{rl}& 1000=15\cdot 66+10\\ & 1000=21\cdot 47+13\\ & 1000=35\cdot 28+20\end{array}}\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{c}{\displaystyle \begin{array}{rl}& |A_3\cap A_5|=66\\ & |A_5\cap A_7|=47\\ & |A_5\cap A_7|=28,\end{array}}\end{array}$$

1000=105⋅9+55⇒|A3∩A5∩A7|=9.$$1000=105\cdot 9+55\Rightarrow |A_3\cap A_5\cap A_7|=9.$$

Aplicando la fórmula del cardinal de la unión de tres conjuntos

|A3∪A5∪A7|=333+200+142−66−47−28+9=543.$$|A_3\cup A_5\cup A_7|=333+200+142-66-47-28+9=543.$$

El conjunto A3∪A5∪A7$A_3\cup A_5\cup A_7$ está formado por los múltiplos de 3,$3,$ o de 5,$5,$ o de 7$7$ y que son menores o iguales que 1000.$1000.$ Nos piden por tanto el cardinal de (A3∪A5∪A7)c.${(A_3\cup A_5\cup A_7)}^c.$Entonces,

|(A3∪A5∪A7)c|=1000−543=457$$\left|{(A_3\cup A_5\cup A_7)}^c\right|=1000-543=457$$

es el cardinal de los números naturales menores o iguales que 1000$1000$ existen que no son múltiplos ni de 3$3$, ni de 5,$5,$ ni de 7.